前缀和差分

前缀和

一、基本思想

前缀和：前n项的和Sn

作用：快速求出数组中一段数的和，比如al到ar的和，只需要用Sr - S(l-1)。

​ 这是一种很好的思想。

二、例题

例题1：一维前缀和

(题目转载自acwing)

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输入一个长度为 n 的整数序列。
接下来再输入 m 个询问，每个询问输入一对 l,r。
对于每个询问，输出原序列中从第 l 个数到第 r 个数的和。
输入格式
第一行包含两个整数 n 和 m。
第二行包含 n 个整数，表示整数数列。
接下来 m 行，每行包含两个整数 l 和 r，表示一个询问的区间范围。
输出格式
共 m 行，每行输出一个询问的结果。
数据范围
1≤l≤r≤n,
1≤n,m≤100000,
−1000≤数列中元素的值≤1000
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#include<iostream>
using namespace std;

const int N = 1e6 + 10;
int a[N];
int s[N];
int n,m;

int main(){
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);//下标从1开始取
    
    for(int i = 1; i <= n; i++) s[i] = s[i - 1] + a[i];//求前缀和
    
    while(m --){
        int l,r;
        scanf("%d%d", &l, &r);
        printf("%d\n", s[r] - s[l - 1]);//通过前缀和算部分和
    }
    return 0;
}

例题2：子矩阵的和

(题目转载自acwing)

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输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q 个询问，每个询问包含四个整数 x1,y1,x2,y2，表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。
对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。
输入格式
第一行包含三个整数 n，m，q。
接下来 n 行，每行包含 m 个整数，表示整数矩阵。
接下来 q 行，每行包含四个整数 x1,y1,x2,y2，表示一组询问。
输出格式
共 q 行，每行输出一个询问的结果。
数据范围
1≤n,m≤1000,
1≤q≤200000,
1≤x1≤x2≤n,
1≤y1≤y2≤m,
−1000≤矩阵内元素的值≤1000
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#include<iostream>
using namespace std;

const int N = 1010;
int a[N][N], s[N][N];
int n, m, q;

int main(){
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &q);
    for(int i = 1; i <= n; i++)//下标也从1开始取
        for(int j = 1; j <= m; j++)
            scanf("%d", &a[i][j]);
            
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= m; j++)
            s[i][j] = s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1] + a[i][j];//求前缀和
            
    while(q --){
        int x1, y1, x2, y2;
        scanf("%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2);
        printf("%d\n", s[x2][y2] - s[x2][y1 - 1] - s[x1 - 1][y2] + s[x1 - 1][y1 - 1]);
        //通过前缀和算部分和
        
    }
    return 0;
}

差分

一、基本思想

差分：对于a1,a2,a3,…,an，构造b1,b2,b3,…,bn，使得ai = b1 + b2 + b3 +…+ bi;

​ b数组是a数组的差分，a数组是b数组的前缀和，差分是差分的逆运算。

差分不用一开始构造，只要差分法插入一下原数组，这样就可以得到差分数组了

作用：让al~ar全部加上c，可以通过差分b数组来操作

​ bl + c => al到an全部加上c（因为a是b的前缀和，al到an中都有bl）

​ 再b(r+1) - c => 让a(r+1)到an全部再减去c，即可

二、例题

例题1：差分

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输入一个长度为 n 的整数序列。
接下来输入 m 个操作，每个操作包含三个整数 l,r,c，表示将序列中 [l,r] 之间的每个数加上 c。
请你输出进行完所有操作后的序列。
输入格式	第一行包含两个整数 n 和 m。第二行包含 n 个整数，表示整数序列。接下来 m 行，每行包含三个整数 l，r，c，表示一个操作。
输出格式	共一行，包含 n 个整数，表示最终序列。
数据范围
1≤n,m≤100000,
1≤l≤r≤n,
−1000≤c≤1000,
−1000≤整数序列中元素的值≤1000
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#include<iostream>
using namespace std;

const int N = 1e6 + 10;
int a[N], b[N];//b是差分数组
int n,m;

void insert(int l, int r, int c){
    b[l] += c;
    b[r + 1] -= c;
}

int main(){
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
    
    for(int i = 1; i <= n; i++) insert(i, i, a[i]);//构造a数组的差分数组b[n]
    
    
    while(m --){
        int l, r, c;
        scanf("%d%d%d", &l, &r, &c);
        insert(l,r,c);
    }
    //再求差分数组b的前缀和，就可以得到插入数之后的a[n];
    for(int i = 1; i <= n; i++) b[i] += b[i-1];
    
    for(int i = 1; i <= n; i++) printf("%d ", b[i]);
    
    return 0;
    
}

例题2：二维矩阵的差分

基本思想：给以(x1,y1)为左上角，(x2,y2)为右下角的子矩阵中的所有数加上C，

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输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q 个操作，每个操作包含五个整数 x1,y1,x2,y2,c，其中 (x1,y1) 和 (x2,y2) 表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。
每个操作都要将选中的子矩阵中的每个元素的值加上 c。
请你将进行完所有操作后的矩阵输出。

输入格式
第一行包含整数 n,m,q。
接下来 n 行，每行包含 m 个整数，表示整数矩阵。
接下来 q 行，每行包含 5 个整数 x1,y1,x2,y2,c，表示一个操作。

输出格式
共 n 行，每行 m 个整数，表示所有操作进行完毕后的最终矩阵。

数据范围
1≤n,m≤1000,
1≤q≤100000,
1≤x1≤x2≤n,
1≤y1≤y2≤m,
−1000≤c≤1000,
−1000≤矩阵内元素的值≤1000
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#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m, q;
int a[N][N], b[N][N];

void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c){
    b[x1][y1] += c;
    b[x2 + 1][y1] -= c;
    b[x1][y2 + 1] -= c;
    b[x2 + 1][y2 + 1] += c;
}

int main(){
    
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &q);
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= m; j++)
            scanf("%d", &a[i][j]);
    
    //插入a矩阵中所有元素，构造差分矩阵b
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= m; j++)
            insert(i, j, i, j, a[i][j]);

    while(q --){
        int x1, y1, x2, y2, c;
        scanf("%d%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2, &c);
        insert(x1, y1, x2, y2, c);
    }
    
    //求b矩阵的前缀和得a矩阵
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= m; j++)
            b[i][j] += b[i - 1][j] + b[i][j - 1] - b[i - 1][j - 1];
    
    //输出b的前缀和也就是a
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        for(int j = 1; j <= m; j++)printf("%d ", b[i][j]);
        puts("");//换行
    }
}