离散化

一、基本思路

  • 离散化就是在不改变数据相对大小的条件下，对数据进行缩小
  • 也就是说，当数据只与它们的相对大小有关，而与具体的大小无关时，就可以使用离散化的思想。

二、模板

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//先去重
vector<int> alls;//存储所有待离散化的值
sort(alls.begin(), alls.end());//排序
alls.erase(unique(alls.begin(), alls.end()), alls.end());//去掉重复元素

//二分求出x对应的离散化的值
int find(int x){//找到第一个大于等于x的位置
	int l = 0, r = alls.size() - 1;
	while(l < r){
		int mid = l + r >> 1;
		if(alls[mid] >= x) r = mid;
		else l = mid + 1;
	}
		return l + 1;//加上1，映射到1,2，...,n
		//return l//不加1，映射到0,1,2，...,n;	
}

二、例题

例题1：区间和

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假定有一个无限长的数轴，数轴上每个坐标上的数都是 0。
现在，我们首先进行 n 次操作，每次操作将某一位置 x 上的数加 c。
接下来，进行 m 次询问，每个询问包含两个整数 l 和 r，你需要求出在区间 [l,r] 之间的所有数的和。

输入格式	第一行包含两个整数 n 和 m。接下来 n 行，每行包含两个整数 x 和 c。再接下来 m 行，每行包含两个整数l 和 r。

输出格式	共 m 行，每行输出一个询问中所求的区间内数字和。

数据范围
−109≤x≤109,
1≤n,m≤105,
−109≤l≤r≤109,
−10000≤c≤10000
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//虽然给的数轴范围是-1e9~1e9，但是n和m最多到1e5，在最坏情况下，最多用到n + 2m=3e5个坐标，
//绝大多数坐标是没有用到的，对于这种范围很大但要用的数值很稀疏的问题，就可以用离散化的思想
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;//每次插入和询问都是两个数，所以可以用pair

const int N = 3e5 + 10;//上面分析过，最坏的情况下会用到3e5个数

int n, m;
int a[N], s[N];//a数组存的是离散化之后的数，s数组是前缀和

vector<int> alls;//存的是需要离散化的值
vector<PII> add, query;

//查找各个数据在离散化后对应的坐标
int find(int x){
    int l = 0, r = alls.size() - 1;
    while(l < r){
        int mid = l + r >> 1;
        if(alls[mid] >= x) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }    
    return l + 1;//因为后面要求前缀和，最好从1开始取
}

int main(){
    scanf("%d%d", &n, &m);
    
    for(int i = 0; i < n; i++){
        int x,c;
        cin>>x>>c;
        add.push_back({x,c});
        
        alls.push_back(x);//将待离散化的数据x加到alls中去
    }
    //将l，r加到query中去，将待离散化的数据l,r加到alls中去
    for(int i = 0; i < m; i ++){
        int l, r;
        cin>>l>>r;
        query.push_back({l,r});
        
        alls.push_back(l);
        alls.push_back(r);
    }
    //排序并去重
    sort(alls.begin(), alls.end());
    alls.erase(unique(alls.begin(), alls.end()), alls.end());
    
    //处理插入,将插入数据的离散化后的值存到a[N]中，为后面的前缀和做准备
    for(auto item : add){
        int x = find(item.first);
        a[x] += item.second;
    }
    //预处理前缀和
    for(int i = 1; i <= alls.size(); i++)
        s[i] = s[i - 1] + a[i];    
    //处理询问
    for(auto item : query){
        int l = find(item.first), r = find(item.second);
        cout<<s[r] - s[l - 1]<<endl;
    }
    return 0;
}