并查集

适用场景

  • 将两个集合合并
  • 询问两个元素是否在一个集合当中

基本思路

  • 每个集合用一颗树来表示。树根的编号就是整个集合的编号。
  • 每个节点存储它的父节点，p[x]表示x的父节点
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1.如何判断树根：if(p[x] == x)
2.如何求x的集合编号：while(p[x] != x) x = p[x]
3.如何合并两个集合：px是x的集合编号，py是y的集合编号。令p[x] = y（令x的父节点为y）

优化：路径压缩

例题1：合并集合

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一共有 n 个数，编号是 1∼n，最开始每个数各自在一个集合中。

现在要进行 m 个操作，操作共有两种：

M a b，将编号为 a 和 b 的两个数所在的集合合并，如果两个数已经在同一个集合中，则忽略这个操作；
Q a b，询问编号为 a 和 b 的两个数是否在同一个集合中；
输入格式
第一行输入整数 n 和 m。

接下来 m 行，每行包含一个操作指令，指令为 M a b 或 Q a b 中的一种。

输出格式
对于每个询问指令 Q a b，都要输出一个结果，如果 a 和 b 在同一集合内，则输出 Yes，否则输出 No。

每个结果占一行。

数据范围
1≤n,m≤105
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#include <iostream> 

using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;

int n, m;
int p[N];//存储每个元素的父节点是谁

int find(int x){//返回x的祖宗节点 + 路径压缩
    if(p[x] != x) p[x] = find(p[x]);//路径压缩，将寻找x祖宗路径上的所有点都指向祖宗节点
    return p[x];
}

int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    
    cin>>n>>m;
    for(int i = 1; i <= n; i++) p[i] = i;
    
    while(m--){
        
        char op[2];
        int a, b;
        cin>>op>>a>>b;
        if(op[0] == 'M') p[find(a)] = find(b);
        else {
            if(find(a) == find(b)) cout<<"Yes"<<endl;
            else cout<<"No"<<endl;
        }
    }
    return 0;
}

例题2：连通块中点的数量

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给定一个包含 n 个点（编号为 1∼n）的无向图，初始时图中没有边。

现在要进行 m 个操作，操作共有三种：

C a b，在点 a 和点 b 之间连一条边，a 和 b 可能相等；
Q1 a b，询问点 a 和点 b 是否在同一个连通块中，a 和 b 可能相等；
Q2 a，询问点 a 所在连通块中点的数量；
输入格式
第一行输入整数 n 和 m。

接下来 m 行，每行包含一个操作指令，指令为 C a b，Q1 a b 或 Q2 a 中的一种。

输出格式
对于每个询问指令 Q1 a b，如果 a 和 b 在同一个连通块中，则输出 Yes，否则输出 No。

对于每个询问指令 Q2 a，输出一个整数表示点 a 所在连通块中点的数量

每个结果占一行。

数据范围
1≤n,m≤105
输入样例：
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C 1 2
Q1 1 2
Q2 1
C 2 5
Q2 5
输出样例：
Yes
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//把连通块看成集合，两个连通块合并就相当于集合合并，因此可以用并查集算法
#include <iostream> 

using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;

int n, m;
int p[N], cnt[N];

int find(int x){
	if(p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
	return p[x];
}

int main (){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	
	cin>>n>>m;
	
	for(int i = 1; i <= n; i++){//初始化
		p[i] = i;
		cnt[i] = 1;
	}
	
	while(m--){
		char op[3];
		int a, b;
		
		cin>>op;
		if(op[0] == 'C'){
			cin>>a>>b;
			if(find(a) == find(b)) continue;//特判的原因是cnt += 此时会重复计数
			cnt[find(b)] += cnt[find(a)];
			p[find(a)] = find(b);
		}
		else if(op[1] == '1'){
			cin>>a>>b;
			if(find(a) == find(b)) cout<<"Yes"<<endl;
			else cout<<"No"<<endl;
		}
		else{
			cin>>a;
			cout<<cnt[find(a)]<<endl;//返回a点祖宗节点的计数
		}
	}
	return 0;
}